Van egy egyenlő szárú, derékszögű háromszögünk.
Tegyük fel, hogy van egy bizonyos hossz - lehet akármilyen kicsi - ami maradék nélkül fölmérhető valahányszor a befogóban is, meg valahányszor az átfogóban is. Tehát ha ennek az ici-pici szakasznak a példányait elkezdenénk a befogó mellett is, meg az átfogó mellett is egymás után fölsorakoztatni, akkor előbb-utóbb a befogó melletti sorunk pontosan ugyanolyan hosszú lenne, mint maga a befogó. Ekkor már csak az átfogó melletti sort növelnénk, és előbb-utóbb ez a sor is pontosan ugyanolyan hosszú lenne, mint maga az átfogó.
1. Legyen 'a' az a szám, ahányszor a pici szakaszt az átfogóban föl tudjuk mérni. (Az átfogó a hosszabb.)
2. A 'b' szám pedig legyen az, ahányszor a befogóban tudjuk fölmérni. (A befogó a rövidebb.)
3. Az előbbi számot osszuk el az utóbbival. Jelöljük ezt a törtet úgy, hogy a/b .
4. Az előző lépésben előállított törtünket egyszerűsítsük mindaddig, amíg a számláló és a nevezó relatív prímek nem lesznek (azaz legnagyobb közös osztójuk legyen 1).
5. Mivel derékszögű háromszögről van szó, alkalmazzuk a Pithagorasz-tételt. A befogók négyzeteinek összege egyenlő az átfogó négyzetével, tehát b-négyzet + b-négyzet = a-négyzet. (Emlékezzünk arra, hogy háromszögünk egyenlő szárú, tehát mindkét befogója ugyanakkora.) Tehát 2*(b^2) = a^2. Az a-négyzet tehát páros szám. Nyílván azért, mert a b-négyzetet megszorozzuk kettővel ahhoz, hogy megkapjuk a-négyzetet. Ha egy egész számot megszorzunk kettővel, akkor az páros szám, hiszen ha már egyszer megszoroztuk kettővel, akkor később bármikor el is oszthatjuk vele. A páros számról pedig tudjuk, hogy az a szám, amit eloszthatunk kettővel.
6. Vonjuk le a következtetést, hogy a egy páros szám. Azért nem lehet páratlan szám, mert egy páratlan számnak a négyzete páratlanszor páratlan, tehát páratlan. Az előbbi lépésben viszont következtettünk arra, hogy a^2 páros szám.
7. Vonjuk le azt a következtetést is, hogy b mindenképpen páratlan szám. Ha b is páros lenne, akkor az a/b tört mindkét tagját oszthatnánk kettővel. De mivel mi már teljesen leegyszerűsítettük a törtet, ez immár nem lehetséges, tehát b mindenképpen páratlan szám.
8. Legyen a-nak a fele az y szám!
9. Ekkor a^2 = (2*y)^2 = (2*y) * (2*y) = 2*y*2*y = 4*(y^2) .
10. Mivel a^2 egyenlő 2*(b^2)-tel és 4*(y^2)-tel is, ezért 2*(b^2) = 4*(y^2) , mivel ha mindkét szám egyenlő egy harmadikkal, akkor egymással is egyenlők. (Tudományosan ezt úgy mondjuk, hogy az egyenlőség tranzitív.)
11. Egyszerűsítsük az előbbi lépésben kapott egyenletet! >>> b^2 = 2 * (y^2) . Ebből az következik, hogy b^2 egy páros szám, hiszen osztható kettővel. A hatodik lépésben beláttuk, hogyha egy számnak a négyzete páros, akkor maga a szám is páros, tehát b egy páros szám.
A hetedik lépésben viszont megállapítottuk, hogy b egy páratlan szám. Itt ellentmondásra jutottunk, mivel egy szám nem lehet egyszerre páros és páratlan!
Tekintettel arra, hogy a következtetéseink mindvégig helyesek voltak, arra a megállapításra kell jutnunk, hogy az alapfeltevésünkkel van a probléma. Ez pedig azt jelenti, hogy egy szakasz akármilyen kicsi legyen is, mégsem lehet egyszerre a befogó is, meg az átfogó is ennek a nagyon kicsi szakasznak az egész számú többszöröse. Ez pedig azt jelenti, hogy az a/b tört nem létezik olyan formában, hogy a számlálója és a nevezője is egész szám. Az ókori görögök ezt úgy fogalmazták meg, hogy a két szakasz nem összemérhető. A befogót nem tudjuk olyan racionális számmal, tehát egész számok hányadosával megszorozni, hogy abból megkapjuk az átfogót. Ez a szorzó egy irracionális szám, egészen pontosan gyök-kettő.
Amikor egy állítást úgy bizonyítunk be, hogy az állítás ellenkezőjéből addig következtetünk, amíg ellentmondásra nem jutunk, ezt a módszert indirekt bizonyításnak nevezzük. Az alapállítás ellenkezőjéből, valamint különböző tételekből (mások által már bizonyított állításokból) és axiómákból (magától értetődőnek tekintett állításokból) addig szőjük a következtetések különböző láncolatait, amíg valahol föl nem fedezünk egy olyan állítást, amely ellentmond egy másik állításnak. Az alapállítás, a tételek, az axiómák, valamint a saját következtetéseink mind-mind állítások. Kijelentő mondatokat írunk le, amelyekben állítjuk valamiről, hogy az igaz, vagy éppen hamis. Az is lehet akár egy állításunk, hogy "minden, ami nem igaz, az hamis". (Ezutóbbi egyébként bármilyen nevetségesen hangzik is, valójában a hagyományos matematikai logikának az egyik legfontosabb alaptétele.)
Tulajdonképpen ennek a módszernek egy végletesen egyszerű változatát használtuk a hatodik lépésben is, amikor beláttuk azt, hogy a egy páros szám. Ennél azonban természetesen nagyságrendekkel bonyolultabb következtetés- rendszerekből is csinálhatunk indirekt bizonyítást. Ha elég ügyesen használjuk, akkor egész tudományágakat zúzhatunk porrá a matematikának ezzel az egyszerű, ám mégis bámulatosan hatékony fegyverével. Sőt, ha nagyon ügyesek vagyunk, akkor ezt úgy is megtehetjük, hogy az eljárás igazán fárasztó és bonyodalmas részeit nem is kell elvégeznünk! Az indirekt bizonyítás ugyanis egy olyan módszer, amelyet bizonyos programozási nyelvek segítségével egészen könnyen automatizálhatunk, hogy aztán a számítógép végezze el helyettünk a piszkos munkát.
A matematika szép...
Tegyük fel, hogy van egy bizonyos hossz - lehet akármilyen kicsi - ami maradék nélkül fölmérhető valahányszor a befogóban is, meg valahányszor az átfogóban is. Tehát ha ennek az ici-pici szakasznak a példányait elkezdenénk a befogó mellett is, meg az átfogó mellett is egymás után fölsorakoztatni, akkor előbb-utóbb a befogó melletti sorunk pontosan ugyanolyan hosszú lenne, mint maga a befogó. Ekkor már csak az átfogó melletti sort növelnénk, és előbb-utóbb ez a sor is pontosan ugyanolyan hosszú lenne, mint maga az átfogó.
1. Legyen 'a' az a szám, ahányszor a pici szakaszt az átfogóban föl tudjuk mérni. (Az átfogó a hosszabb.)
2. A 'b' szám pedig legyen az, ahányszor a befogóban tudjuk fölmérni. (A befogó a rövidebb.)
3. Az előbbi számot osszuk el az utóbbival. Jelöljük ezt a törtet úgy, hogy a/b .
4. Az előző lépésben előállított törtünket egyszerűsítsük mindaddig, amíg a számláló és a nevezó relatív prímek nem lesznek (azaz legnagyobb közös osztójuk legyen 1).
5. Mivel derékszögű háromszögről van szó, alkalmazzuk a Pithagorasz-tételt. A befogók négyzeteinek összege egyenlő az átfogó négyzetével, tehát b-négyzet + b-négyzet = a-négyzet. (Emlékezzünk arra, hogy háromszögünk egyenlő szárú, tehát mindkét befogója ugyanakkora.) Tehát 2*(b^2) = a^2. Az a-négyzet tehát páros szám. Nyílván azért, mert a b-négyzetet megszorozzuk kettővel ahhoz, hogy megkapjuk a-négyzetet. Ha egy egész számot megszorzunk kettővel, akkor az páros szám, hiszen ha már egyszer megszoroztuk kettővel, akkor később bármikor el is oszthatjuk vele. A páros számról pedig tudjuk, hogy az a szám, amit eloszthatunk kettővel.
6. Vonjuk le a következtetést, hogy a egy páros szám. Azért nem lehet páratlan szám, mert egy páratlan számnak a négyzete páratlanszor páratlan, tehát páratlan. Az előbbi lépésben viszont következtettünk arra, hogy a^2 páros szám.
7. Vonjuk le azt a következtetést is, hogy b mindenképpen páratlan szám. Ha b is páros lenne, akkor az a/b tört mindkét tagját oszthatnánk kettővel. De mivel mi már teljesen leegyszerűsítettük a törtet, ez immár nem lehetséges, tehát b mindenképpen páratlan szám.
8. Legyen a-nak a fele az y szám!
9. Ekkor a^2 = (2*y)^2 = (2*y) * (2*y) = 2*y*2*y = 4*(y^2) .
10. Mivel a^2 egyenlő 2*(b^2)-tel és 4*(y^2)-tel is, ezért 2*(b^2) = 4*(y^2) , mivel ha mindkét szám egyenlő egy harmadikkal, akkor egymással is egyenlők. (Tudományosan ezt úgy mondjuk, hogy az egyenlőség tranzitív.)
11. Egyszerűsítsük az előbbi lépésben kapott egyenletet! >>> b^2 = 2 * (y^2) . Ebből az következik, hogy b^2 egy páros szám, hiszen osztható kettővel. A hatodik lépésben beláttuk, hogyha egy számnak a négyzete páros, akkor maga a szám is páros, tehát b egy páros szám.
A hetedik lépésben viszont megállapítottuk, hogy b egy páratlan szám. Itt ellentmondásra jutottunk, mivel egy szám nem lehet egyszerre páros és páratlan!
Tekintettel arra, hogy a következtetéseink mindvégig helyesek voltak, arra a megállapításra kell jutnunk, hogy az alapfeltevésünkkel van a probléma. Ez pedig azt jelenti, hogy egy szakasz akármilyen kicsi legyen is, mégsem lehet egyszerre a befogó is, meg az átfogó is ennek a nagyon kicsi szakasznak az egész számú többszöröse. Ez pedig azt jelenti, hogy az a/b tört nem létezik olyan formában, hogy a számlálója és a nevezője is egész szám. Az ókori görögök ezt úgy fogalmazták meg, hogy a két szakasz nem összemérhető. A befogót nem tudjuk olyan racionális számmal, tehát egész számok hányadosával megszorozni, hogy abból megkapjuk az átfogót. Ez a szorzó egy irracionális szám, egészen pontosan gyök-kettő.
Amikor egy állítást úgy bizonyítunk be, hogy az állítás ellenkezőjéből addig következtetünk, amíg ellentmondásra nem jutunk, ezt a módszert indirekt bizonyításnak nevezzük. Az alapállítás ellenkezőjéből, valamint különböző tételekből (mások által már bizonyított állításokból) és axiómákból (magától értetődőnek tekintett állításokból) addig szőjük a következtetések különböző láncolatait, amíg valahol föl nem fedezünk egy olyan állítást, amely ellentmond egy másik állításnak. Az alapállítás, a tételek, az axiómák, valamint a saját következtetéseink mind-mind állítások. Kijelentő mondatokat írunk le, amelyekben állítjuk valamiről, hogy az igaz, vagy éppen hamis. Az is lehet akár egy állításunk, hogy "minden, ami nem igaz, az hamis". (Ezutóbbi egyébként bármilyen nevetségesen hangzik is, valójában a hagyományos matematikai logikának az egyik legfontosabb alaptétele.)
Tulajdonképpen ennek a módszernek egy végletesen egyszerű változatát használtuk a hatodik lépésben is, amikor beláttuk azt, hogy a egy páros szám. Ennél azonban természetesen nagyságrendekkel bonyolultabb következtetés- rendszerekből is csinálhatunk indirekt bizonyítást. Ha elég ügyesen használjuk, akkor egész tudományágakat zúzhatunk porrá a matematikának ezzel az egyszerű, ám mégis bámulatosan hatékony fegyverével. Sőt, ha nagyon ügyesek vagyunk, akkor ezt úgy is megtehetjük, hogy az eljárás igazán fárasztó és bonyodalmas részeit nem is kell elvégeznünk! Az indirekt bizonyítás ugyanis egy olyan módszer, amelyet bizonyos programozási nyelvek segítségével egészen könnyen automatizálhatunk, hogy aztán a számítógép végezze el helyettünk a piszkos munkát.
A matematika szép...
No comments:
Post a Comment